MATERI TEOREMA PYTHAGORAS
Teorema
phitagoras adalah pernyatan yang selalu bernilai benar tentang panjang segitga
siku siku, sedangkan rumus phitagoras adalah berupa pernyataan aljabar yang menyatakan hubungan ketiga sisi siku
siku.
Rumus phitagoras
bukan eorema phita goras, tetapi teorema phitagoras memuat rumus phitagoras baik secara implisi
maupun eksplisit.
1. Kuadrat dan akar kuadrat suatu bilangan
Kuadrat suatu bilangan ialah bilangan yang
diperoleh dengan mengalikan bilangan itu dengan dirinya sendiri.
Contoh:
9,52 = 9,5 x 9,5 = 90,25
9,52 = 9,5 x 9,5 = 90,25
152 = 15 x 15
= 225
Akar kuadrat suatu bilangan n ialah suatu bilangan positif yang
jika dikuadratkan (dikalikan dengan dirinya sendiri) akan menghasilkan bilangan
ke-n.
Contoh:
1.
Akar kuadrat dari:
64 = 8 x 8 = 8 x 8 = 64, maka akar kuadrat 64
adalah 8
0,25 = 0,5 x 0,5 = 0,5 x 0,5 = 0,25, maka
akar kuadrat 0,25 adalah 0,5
2. Luas daerah persegi dan
luas daerah segitiga siku-siku
Perhatikan
gambar! A D
B C
Luas daerah persegi ABCD adalah:
L = s x s = s2
Luas daerah segitiga ABD adalah: L = ½ x s2
Perhatikan kalimat-kalimat berikut:
1. Diketahui sebuah segitiga
PQR siku-siku di titik Q. Jika PQ = 8 cm
dan QR
= 24 cm, tentukan luas daerah segitiga PQR!
3.
Hitunglah luas segitiga
berikut dalam satuan cm2!
P
5
Q 12 R
3. Pembuktian Theorema Pythagoras
Pada setiap segitiga siku-siku, sisi-sisinya
terdiri dari sisi siku-siku dan sisi miring (hipotenusa). Perhatikan gambar
segitiga ABC!
C
B A
Segitiga ABC siku-siku di A, sisi yang membentuk sudut siku-siku
disebut sisi siku-siku, yaitu AB dan AC. Sisi dihadapan sudut siku-siku disebut
sisi miring atau hipotenusa yaitu BC. Selanjutnya untuk mendapatkan Teorema
Pythagoras, perhatikan gambar! Berdasarkan gambar tersebut, hitunglah luas
persegi-persegi pada setiap sisi segitiga, dan lengkapilah tabel berikut ini.
Untuk setiap segitiga siku-siku selalu berlaku:
Luas persegi pada hipotenusa sama dengan jumlah luas persegi pada
sisi yang lain (sisi siku-siku).
Teorema ini disebut Teorema Pythagoras, karena teori ini pertama
kali ditemukan oleh Pythagoras, yaitu seorang ahli matematika bangsa Yunani
yang hidup pada abad VI Masehi.
4. Rumus Teorema Pythagoras
Teorema Pythagoras yang pembuktiannya telah dilakukan di atas
dapat digunakan untuk menghitung panjang suatu sisi segitiga siku-siku apabila
salah satu sisinya belum diketahui.
Dari Teorema Pythagoras dapat diturunkan rumus-rumus berikut:
Jika segitiga ABC siku-siku di titik A, maka berlaku:
BC2 = AC2 + AB2, atau
a2 = b2 + 2c, atau
b2 = a2 – 2c, atau
c2 = a2 – b2
Contoh:
1. Tunjukkan bahwa segitiga yang berukuran 4 cm, 3 cm, dan 5 cm adalah segitiga siku-siku.
1. Tunjukkan bahwa segitiga yang berukuran 4 cm, 3 cm, dan 5 cm adalah segitiga siku-siku.
Jawab: Misalnya sisi terpanjang adalah a, maka:
a = 5, b = 4, dan c = 3 a2 = 52
a2 = 25 b2 + c2 = 42 +
32 = 16 + 9 = 25
Karena a2 = b2 + c2, maka segitiga tersebut siku-siku.
Karena a2 = b2 + c2, maka segitiga tersebut siku-siku.
2. Suatu segitiga berukuran 4 cm, 6 cm, dan 5
cm. Apakah segitiga itu siku-siku.
Jawab: Misal sisi terpanjang adalah a, maka:
a = 6, b = 4, dan c = 5 a2 = 62 62 =
36 b2 + c2 = 42 + 52 =
16 + 25 = 41
Karena a2 ≠ b2+c2, maka segitiga tersebut bukan segitiga siku-siku.
Dari contoh di atas didapat bahwa: a2 < b2 + c2, maka segitiga tersebut merupakan segitiga lancip.
Karena a2 ≠ b2+c2, maka segitiga tersebut bukan segitiga siku-siku.
Dari contoh di atas didapat bahwa: a2 < b2 + c2, maka segitiga tersebut merupakan segitiga lancip.
Tigaan Pythagoras (Tripel Pythagoras)
Ukuran sisi segitiga siku-siku sering dinyatakan dalam tiga
bilangan asli yang tepat. Tiga bilangan seperti itu disebut tigaan Pythagoras
(Tripel Pythagoras).
Contoh:
Suatu segitiga siku-siku panjang sisinya 5, 12, dan 13 satuan. Bilangan 5, 12, dan 13 disebut tigaan Pythagoras, sebab 132 = 52 + 122.
Suatu segitiga siku-siku panjang sisinya 5, 12, dan 13 satuan. Bilangan 5, 12, dan 13 disebut tigaan Pythagoras, sebab 132 = 52 + 122.
Selanjutnya dapat disimpulkan:
Tripel (tigaan) Pythagoras adalah tiga bilangan asli yang tepat
untuk menyatakan panjang sisi-sisi suatu segitiga siku-siku.
25 Macam Pembuktian
Teorema Pythagoras
Siapa yang belum mendengar “Teorema
Pythagoras”? sejak di sekolah dasar kita telah diperkenalkan dengan sifat yang
terdapat pada segitiga siku-siku tersebut. Sebagai tambahan wawasan dan
pengetahuan bagi para guru, berikut ini disajikan penjelasan singkat mengenai
sejarah teorema Phytagoras serta 25 cara membuktikannya.
Teorema Pythagoras merupakan salah satu
teorema yang telah dikenal manusia sejak peradaban kuno. Nama teorema ini
diambil dari nama seorang matematikawan Yunani yang bernama Pythagoras.
Pythagoras lahir di pulau Samos, Yunani, sekitar tahun 570 SM. Sesuai dengan
nasehat gurunya Thales, Pythagoras muda mengunjungi Mesir sekitar tahun 547 SM
dan tinggal di sana.
Bangsa Mesir kuno telah mengetahui bahwa segitiga
dengan panjang sisi 3, 4 dan 5 akan membentuk sebuah sudut siku-siku. Mereka
menggunakan tali yang diberi simpul pada beberapa tempat dan menggunakannya
untuk membentuk sudut siku-siku pada bangunan-bangunan mereka termasuk piramid.
Diyakini bahwa mereka hanya mengetahui tentang segitiga dengan sisi 3, 4 dan 5
yang membentuk segitiga siku-siku, sedangkan teorema yang berlaku secara umum
untuk segitiga siku-siku belum mereka ketahui.
Di Cina, Tschou-Gun yang hidup sekitar 1100 SM juga mengetahui
teorema ini. Demikian juga di Babylonia, teorema ini telah dikenal pada masa
lebih dari 1000 tahun sebelum Pythagoras. Sebuah keping tanah liat dari
Babilonia pernah ditemukan dan memuat naskah yang kira-kira berbunyi sebagai
berikut: “4 is length and 5 the diagonal. What is the breadth?”
Pythagoras-lah yang telah membuat generalisasi
dan membuat teorema ini menjadi populer.
Secara singkat teorema Pythagoras berbunyi:
Pada sebuah segitiga siku-siku, kuadrat sisi miring (sisi di
depan sudut sikusiku) sama dengan jumlah kuadrat sisi-sisi yang lain.
1. Pembuktian dari Sekolah Pythagoras
Sifat pada segitiga siku-siku ini sebenarnya telah dikenal
berabad-abad sebelum masa Pythagoras, seperti di Mesopotamia, juga Cina. Tetapi
catatan tertulis pertama yang memberi bukti berasal dari Pythagoras. Bukti dari
sekolah Pythagoras tersebut tersaji pada gambar di bawah.
Perhatikan bahwa:
Luas daerah hitam pada gambar (1) adalah a2 + b2
Luas daerah hitam pada gambar (2) adalah c2
Dengan demikian a2 + b2 = c2
2. Pembuktian lain menggunakan diagram Pythagoras
Bukti berikut ini lebih sederhana tetapi menggunakan sedikit
manipulasi aljabar. Keempat segitiga siku-siku yang kongruen disusun membentuk
gambar di bawah ini.
Dengan menghitung luas bangun bujur sangkar yang terjadi melalui
dua cara akan diperoleh:
(a + b) = c2 +
4. ½ ab
a2 + 2ab + b2 = c2 +
2 ab
a2 + b2 = c2
3. Bukti dari Astronom India Bhaskara (1114 - 1185)
Bukti berikut ini pertama kali terdapat pada karya Bhaskara
(matematikawan India, sekitar abad X). Bangun ABCD di atas berupa bujursangkar
dengan sisi c. Di dalamnya dibuat empat buah segitiga siku-siku
dengan panjang sisi a dan b.
Dengan konstruksi bangun tersebut, maka:
Luas PQRS + 4 x luas
ABQ = luas ABCD
(b – a)2 +
4 x ½ . ab = c2
b2 – 2ab + a2 +
2ab = c2
a2 + b2 = c2
4. Pembuktian Teorema Pythagoras oleh Presiden J. A. Garfield
Pembuktian ini berasal dari J. A. Garfield pada tahun 1876. Luas
daerah trapesium di bawah ini dapat dihitung dengan dua cara sehingga teorema
Pythagoras dapat dibuktikan sebagai berikut.
Luas
trapesium = (alas
+ atas)/2. tinggi = (a + b)/2.
(a + b)
Di lain pihak, luas
trapesium = 2.
½ ab + ½ c2
Sehingga, (a + b)/2. (a + b) = 2.
½ ab + ½ c2
a2 + 2ab + b2 = 2ab + c2
a2 + b2 = c2
5. Bukti menggunakan Garis Tinggi dan Sifat Segitiga Sebangun
(Pembuktian Baskhara yang Kedua)
Perhatikan gambar berikut:
Segitiga ABC sebangun dengan segitiga ACD sehingga b/c = c1/c atau b2 = c . c1 ...
(1)
Segitiga ABC sebangun dengan segitiga CBD sehingga a/c = c2/a atau a2 = c . c2 ...
(2)
Dari (1) dan (2) diperoleh:
a2 + b2 = c . c1 + c . c2
a2 + b2 = c (c1 + c2)
a2 + b2 = c . c
a2 + b2 = c2
6. Bukti menggunakan Transformasi
Misal segitiga ABC siku-siku di C. Putarlah segitiga ABC sejauh
900 berlawanan arah dengan putaran jarum jam dengan pusat
rotasi C. Akan diperoleh segitiga A’B’C’ yang berimpit dengan segitiga ABC.
½ a2 = (1)
½ b2 = (2)
+ (3)
------------------------------------ +
½ a2 + ½ b2 = (1)
+ (2) + (3)
= [(1)
+ (2)] + (3)
= ½ cx +
½ cy
= ½ c (x
+ y)
= ½ c.c
= ½ c2
Dengan mengalikan dua pada setiap ruas maka akan diperoleh a2 + b2 = c2
7. Bukti dengan Dasar Perbandingan lagi
Diberikan segitiga ABC yang siku-siku di C. Kalikan setiap sisi
dengan c. Lalu bentuk dua segitiga sebangun dengan ABC seperti pada
gambar di atas. Dengan perbandingan sisi pada segitiga-segitiga sebangun akan
diperoleh panjang sisi-sisi yang lain pada bangun di samping. Dari konstruksi
tersebut jelas c2 = a2 + b2.
Bukti sejenis ini terdapat pula dalambeberapa buku dan
publikasi, seperti oleh Birkhoff.
8. Bukti dengan “Bayangan”
Perhatikan bahwa kelima gambar di bawah ini memuat daerah gelap
dengan luas yang sama (menggunakan konsep kesamaan luas bangun-bangun datar).
9. Bukti dengan “Putaran”
Perhatikan proses dari diagram di atas.
Luas daerah gambar awal = a2 + b2 +
2. ½ . ab
Luas daerah gambar akhir = c2 +
2. ½. Ab
Oleh karena transformasi di atas tidak mengubah ukuran, maka
kedua daerah tersebut sama luasnya, sehingga dengan mengurangi masing-masing
oleh ab atau mengambil kedua bangun segitiga siku-siku akan
diperoleh:
a2 + b2 = c2 (Sumardyono,
2003)
10. Bukti dengan cara “Geser, Potong, lalu Putar”
Perhatikan bukti geometris berikut ini, dengan cara menggeser,
memotong, dan memutar.
(Sumardyono, 2004)
11. Bukti dari Euclid
Bukti berikut ini pertama kali diberikan oleh Euclid. Perhatikan
gambar di bawah ini.
DBQE = NLBD
..... kedua bangun konruen
= MLBC......
alas sama-sama BL dengan tinggi tetap BD
= SRBC
...... alas sama-sama BC dengan tinggi tetap BR
= a2
ADEP = KNDA.....
kedua bangun konruen
= KMCA
..... alas sama-sama AK dengan tinggi tetap AD
= UTCA
...... alas sama-sama AC dengan tinggi tetap AU
= b2
c2 = BDQE + ADEP
= a2 + b2
12. Bukti dari Leonardo da Vinci
Diberikan segitiga siku-siku ABC. Buatlah segitiga JHI kongruen
dengan ABC. Maka segiempat ABHI, JHBC, ADGC, dan EDGF adalah kongruen.
Bukti teorema Pythagoras dilakukan sebagai berikut:
Luas ADGC + luas EDGF = luas ABHI + luas JHBC
Luas
ADEFGC = luas ABCJHI
Kedua bangun memuat dua segitiga yang kongruen dengan segitiga
ABC, sehingga:
Luas ADEFGC – 2. Luas
ABC = luas
ABCJHI – 2. Luas ABC
Luas ABED + luas BCGF = luas
ACJI
13. Bukti dengan cara “Tambah lalu Geser”
Susunlah empat segitiga siku-siku yang kongruen dengan segitiga
ABC seperti pada gambar sebelah kiri, lalu tambahkan sebuh bujur sangkar dengan
luas b – a.
Maka diperoleh:
Luas KMNPQR = luas
KSQR + luas MNP
= a2 + b2
Kemudian pindahkan segitiga 1 dan 4 sehingga membentuk bangun di
sebelah kanan. Bangun yang terbentuk adalah bujur sangakar dengan sisi c,
sehingga luasnya c2. (Sumardyono, 2003)
14. Bukti dari Liu Hui (pada 3 Masehi)
Bukti berikut bersifat geometris. Tetapi Anda dengan mudah dapat
membuktikannya secara aljabar.
15. Bukti dari Tsabit ibn Qorra
Bukti berikut berasal dari Tsabit ibn Qorra (836-901) dan
merupakan generalisasi Teorema Pythagoras. Diberikan sebarang segitiga ABC.
Buatlah titik A’ dan B’ pada AB sedemikian sehingga < BA’C =
< AB’C = < CAB’ (untuk gambar atas <CAB’ tumpul
dan untuk gambar bawah < CAB’ lancip). Dengan demikian tampak
bahwa segitiga ABC, segitiga CBA’ dan segitiga ACB’ saling sebangun.
Kesebangunan ini mengakibatkan:
AC/BA = A’B/CB (pandang segitiga CBA’ dan ABC
)
AC/AB = AB’/AC (pandang segitiga ACB’ dan ABC)
Sehingga akan diperoleh BC2 +
AC2 = AB(A’B + AB’)
Apabila sudut C siku-siku maka A’ = B’ dan
Teorema Pythagoras terpenuhi.
16. Bukti dari Pappus
Bukti berikut berasal dari Pappus (sekitar 300 M) dan merupakan
suatu generalisasi. Buat sebarang segitiga ABC. Lalu buat sebarang jajargenjang
CADE (di sisi CA) dan sebarang jajargenjang CBFG (di sisi BC). Kemudian panjang
DE dan FG hingga bertemu, katakan di H. Kemudian lukis AL dan BM sejajar dan
sama panjang dengan HC. Maka:
Luas
CADE = luas
CAUH = luas
SLAR
Luas
CBFG = luas
CBVH = luas
SMBR
---------------------------------------------------------------------------
+
Luas CADE + luas
CBFG = luas
ABML
Bila segitiga ABC adalah segitiga siku-siku (dengan sudut
siku-siku di C) serta jajargenjang di sisi CA dan BC merupakan bujursangkar,
maka akan diperoleh Teorema Pythagoras.
17. Pembuktian dengan Segitiga Sama Sisi
Buat segitiga siku-siku dengan panjang sisi a, b, dan c.
Kemudian buat segitiga
sama sisi dengan panjang a, b, dan c di setiap sisi-sisinyasehinggaakan tampak
seperti gambar berikut.
Dari gambar di
atas,diketahui bahwa luas segitiga sama sisi pada sisi miring sama dengan
jumlah segitiga sama sisi lainnya.
Untuk segitiga dengan
panjang sisi k, l, dan m maka luas segitiga
tersebut adalah
18. Pembuktian dengan Identitas Trigonometri Pythagoras
Buat segitiga siku-siku dengan panjang sisi a, b, dan, c seperti
gambar berikut.
Kemudian dengan menggunakan trigonometri untuk menentukan sinus
dan cosinus sudut Ó¨ yaitu sebagai berikut.
Hubungan antara sinus dan cosinus dinamakan sebagai identitas
trigonometri Pythagoras yang mendasar. Sehingga pada trigonometri kita ketahui
bahwa
Hubungan antara sinus dan cosinus dinamakan sebagai identitas
trigonometri Pythagoras yang mendasar. Sehingga pada trigonometri kita ketahui
bahwa.
19. Pembuktian denan Persamaan Differensial
Pertama gambar segitiga siku-siku ABC seperti gambar berikut
b diperpanjang ke titik D yaitu sisi db, c juga diperpanjang
dengan sisi dc. Terdapat dua sisi segitiga yang sebangun yaitu segitiga AED (EA
tegak lurus terhadap sisi miring) dan segitiga ABC seperti gambar berikut.
oleh karena itu rasio atau perbandingan sisi-sisi pada segitiga
tersebut harus sama, yaitu:
Dapat ditulis sebagai berikut
Perhatikan gambar, apabila b = 0, maka a harus berhimpit
terhadap c. Artiya a = c. Maka konstanta = c2 = a2 sehingga c2 = b2 + a2 terbukti.
20. Pembuktian Thabit Ibn Qurra
Buat persegi panjang dengan panjang a dan b, kemudian disusun
berdampingan seperti gambar berikut.
Luas bangun di atas adalah persegi besar dan persegi kecil yaitu
a2 + b2.
Persegi di atas kita gabungkan, kemudian buat garis sedemikian
rupa sehingga akan tampak seperti gambar di bawah, dimana sisi c menjadi sisi
miring.
Selanjutnya segitiga kita potong dan tempatkan di bagian lain
yaitu samping kanan dan bagian atas sehingga akan tampak seperti gambar
berikut.
Bangun yang terbentuk adalah sbuah bujur sangkar dengan luas c2.
21. Pembuktian John Kawamura
Pembuktian ini ditemukan oleh siswa SMA yang dilaporkan oleh
Chris Davis, guru geometrinya di Head-Rouce School, Oakland, CA.
Kedua diagonal tegak lurus memiliki panjang c, sehingga daerah
yang sama dengan c2/2 sehingga
c2/2 = Luas bangun ABCD
=
Luas BCD + Luas ABD
= a.a/2 + b.b/2
c2 = a2 + b2 terbukti
22. Pembuktian Tao Tong
ABC dan BED dua buah segitiga yang kongruen. E pada AB.
Luas ABD = BD.AF/2 = DE.AB/2
Berdasarkan gambar di atas diperoleh
(c-x)/2 = b.b/2.x = CF (diperoleh dari kesamaan BD
dan AC pada segitiga BFC dan ABC).
x = a2/2
23. Pembuktian dengan beberapa segitiga yang sebangun.
Berdasarkan gambar di atas diperoleh
y/b = b’/c, x/a = a’/c + cx = aa’ + bb’
maka cc’ = aa’ + bb’
24. Pembuktian dengan dua trapesium yang kongruen
Pembuktianini ditemukan oleh seorang siswa SMA, Jamie deLemos.
Kuas dari trapesium tersebut adalah
(2a+2b)/2.(a+b)
Di lain pihak
2.a.b/2 + 2b.a/2 + 2.c2/2
Dari dua persamaan tersebut diperoleh:
a2 + b2 = c2
25. Pembuktian dari weininjieda dari Cina
Misal CE = BC = a, CD =AC =b, F titik potong DE dan AB.
Segitiga CED kongruen dengan segitiga ABC, misal DE = AB = c.
AC tegak lurus dengan BD
BE tegak lurus dengan AD, dan
ED tegak lurus dengan AB. Maka diperoleh
Luas segitiga ABD = Luas segitiga ABE + Luas segitiga ACD + luas
segitiga BCE
Akan diperoleh persmaan
c(c+EF) = EF. C + b2 + a2
yang bentuk sederhananya
c2 = b2 + a2
Tidak ada komentar:
Posting Komentar