sejarah simcard

sejarah penemuan dan ukuran sim card SIM Card merupakan peralatan pelengkap gatget anda,hampir semua ponsel pintar dan tablet pc menggunakan sim card.sehingga akan sangat sulit rasanya apa bila sebuah ponsel yang tidak menggunakan sim card,mungkin anda bisa lihat beberapa tablet pc yang tidak di lengkapi sim card,koneksi internet pada perangkat sangat terbatas,harus menggunakan prantara koneksi,dan tanpa sim card juga anda mungkin tidak bisa melakukan telepon,dengan kata lain sim card adalah jantung utama untuk membuat sebuah gatget bisa berkerja dengan maksimal, meskipun harga murah dan tidak terlalu di perhatikan oleh pengguna, berbeda dengan dulu,kini sim card tersedia berbagai ukuran mulai dari mini sim,microsim sampai dengan nano sim,namum tahukah anda jika semua ukuran itu bisa di buat dari sim card ukuran standart atau mini sim,oleh karena banyaknya ponsel cangih yang mengeluarkan ponsel yang menggunakan microsim membuat sebagian pengguna kebinggungan dan sebagian dari mereka kaget karena ukuran sim yang tersedia jauh berbeda dengan sim card mereka gunakan saat ini, Download aplikasi Browser terbaik gratis untuk hp android ,ios dan windowsphone ukuran mini sim paling banyak di gunakan,karena sudah di kenal dari awal pemasaran ponsel di pasar,sehingga ukuran sim card tersebut bisa di bilang cukup umum,sedangkan untuk simcard ukuran micro-sim baru-baru ini di pergunakan untuk smartphone kelas atas terbaru,berbeda dengan diatas,nano sim hanya di buat khusus untuk pengguna produk apple iphone,dari kesemua ukuran sim card,nano sim paling kecil dan cara memotong ukuran mini sim menjadi microsim dan nano sim sangatlah mudah,mungkin anda bisa menggunakan cara manual yaitu menggunakan gunting,namum jika anda tidak mau ribet silahkan gunakan pemotong sim yang sangat banyak tersedia di pusat penjual aksesoris handphone. untuk kita pengguna ponsel dan sim card,tentu saja terkadang berpikir dan bertanya siapa pembuat atau penemu sim card ini pertama kalinya,jawabnya,,ilmuan penemu sim card adalah Alphonse Devrient & Hermann Giesecke,penemuan sim card ini pada tahun 1991.di waktu itu sim card di buat untuk operator telekomunikasi di negara finlandia.ukuran sim card pada tahan pertama ini tidak sekecil saat ini,yaitu panjang 85,60 mm ,lebar lebar 53,98 mm dan ketebalan 0.76 mm.ukuran ini mirip dengan ukuran kartu atm atau kartu kredit card kita gunakan saat ini karena ukuran sim card tersebut masih tergolong besar,perusahan berinovasi di negara jerman ini kembali melakukan perubahan ukuran,setelah membuat sebuah perbuhan maka di tentukan lah ukuran sim card lebih kecil yaitu 25 mm dengan lebar 15 mm,yang di namakan dengan mini sim,seperti anda gunakan sekarang,standar ukuran sim card oleh operator indonesia semua berukuran mini sim sumber :www.riaume.com

Read more

apa itu pi?? wajib baca

apa sih tiu pi?

Pi, diberi nama menurut salah satu huruf Yunani, yang uniknya tidak diberi nama oleh orang Yunani atau ditemukan oleh mereka.

Konsep pi pertama kali dimunculkan oleh bangsa Mesir Kuno yang dibuktikan dengan sebuah catatan sejarah yang menyatakan bahwa angka ini sudah digunakan pada tahun 1650 SM.

Catatan tersebut ditulis oleh seseorang bernama Ahmes, yang menunjukkan beberapa rumus matematika, di antaranya tentang perkiraan kasar bagaimana menghitung luas lingkaran menggunakan suatu angka yang bila diterjemahkan dalam istilah modern mewakili 3,1604.

Baru pada sekitar tahun 200 SM, orang Yunani menjadi sadar akan pentingnya pi, meskipun mereka bukanlah yang memberi nama angka itu.

Archimedes memperkirakan nilai pi sekitar tahun 200 SM dalam bentuk pecahan, mengingat orang Yunani pada saat itu belum menggunakan desimal.

Archimedes memperkirakan pi sebagai pecahan 3 1/7, yang dalam desimal bernilai sekitar 3,14.

Matematikawan dan ilmuwan lantas menggunakan nilai pi menurut perhitungan Archimedes selama berabad-abad.

Ketertarikan akan angka ini kembali mengemuka pada akhir abad ke-16. Ludolph Van Ceulon mendedikasikan banyak waktu untuk meneliti pi, dan menerbitkan buku berjudul On the Circle (Van den Circkel) untuk menuliskan penemuannya.

Ludolp berhasil menghitung pi hingga 35 desimal yang kemudian dinamakan sebagai Angka Ludolphian untuk menghormatinya.

Baru pada awal abad ke-18 angka 3,14159 mendapatkan namanya seperti sekarang.

Pelopor penyebutan pi bisa dilacak pada William Jones, seorang ahli matematika Welsh. Dia menyarankan angka “ajaib” tersebut dinamakan pi (Π) yang juga mewakili salah satu abjad Yunani.

Tradisi ini dipopulerkan oleh matematikawan lain dan menjadi kesepakatan bersama hingga saat ini.

Konsep pi sebenarnya cukup sulit dijelaskan. Angka ini merupakan bilangan irasional, tanpa akhir yang jelas, dan tidak memiliki pola atau pengulangan pada angka desimalnya.

Meskipun tiak bisa dijelaskan secara pasti dalam bentuk pecahan, bilangan yang paling mendekatinya adalah 22/7.

Pada lingkaran, pi menunjukkan rasio keliling lingkaran dengan diameternya. Itu sebab, jika Anda ingin memeriksa suatu objek berbentuk lingkaran sempurna atau tidak, maka bagilah keliling dengan diameternya.

Sebuah lingkaran sempurna akan memiliki hasil pembagi mendekati nilai pi.

Pi juga bisa didefinisikan sebagai derajat sehingga memiliki banyak aplikasi dalam geometri.

Luas lingkaran dihitung dengan menggunakan rumus Πr2, sedangkan kelilingnya memiliki rumus Πd atau Π2r.

Namun, hasil perhitungan menggunakan rumus ini hanya merupakan perkiraan atau pendekatan atas kondisi sebenarnya.

Hasil akan semakin mendekati kebenaran saat Anda menggunakan pi dengan jumlah desimal lebih banyak.

Untuk perhitungan dasar, nilai pi dalam desimal umumnya cukup dituliskan sebagai 3,14.[]

sumber:www.amazine.co

Read more

sejarah angka

Hampir tak ada negara di dunia yang tak mengenal angka (bilangan). Semuanya mengenal angka 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, dan 0. Angka-angka itu menjadi roh dalam ilmu matematika. Sulit dibayangkan, andai tak ditemukan angka-angka tersebut.

Dalam berbagai literatur yang ada, tak disebutkan siapa orang yang pertama kali menemukan angka-angka atau bilangan tersebut. Yang pasti, menurut Abah Salma Alif Sampayya, dalam bukunya Keseimbangan Matematika dalam Alquran , catatan angka pertama kali ditemukan pada selembar tanah liat yang dibuat suku Sumeria yang tinggal di daerah Mesopotamia sekitar tahun 3.000 SM.

Bangsa Mesir kuno menulis angka pada daun lontar dengan tulisan hieroglif yang dilambangkan dengan garis lurus untuk satuan, lengkungan ke atas untuk puluhan, lengkungan setengah lingkaran menyamping (seperti obat nyamuk) untuk ratusan, dan untuk jutaan dilambangkan dengan simbol seorang laki-laki yang menaikkan tangan. Sistem ini kemudian dikembangkan oleh bangsa Mesir menjadi sistem hieratik.

Bangsa Roma menggunakan tujuh tanda untuk mewakili angka, yaitu I, V, X, L, C, D, dan M, yang dikenal dengan angka Romawi. Angka ini digunakan di seluruh Eropa hingga abad pertengahan.Sementara itu, angka modern saat ini, berasal dari simbol yang digunakan oleh para ahli matematika Hindu India sekitar tahun 200 SM, yang kemudian dikembangkan oleh orang Arab. Sehingga, angka tersebut disebut dengan angka Arab.

Dibandingkan dari seluruh angka yang ada (1-9), angka 0 (nol) merupakan angka yang paling terakhir kemunculannya. Bahkan, angka nol pernah ditolak keberadaannya oleh kalangan gereja Kristen. Orang yang paling berjasa memperkenalkan angka nol di dunia ini adalah al-Khawarizmi, seorang ilmuwan Muslim terkenal. Dia memperkenalkan angka nol melalui karyanya yang monumental Al-Jabr wa al-Muqbala atau yang lebih dikenal dengan nama Aljabar . Angka nol ini kemudian dibawa ke Eropa oleh Leonardo Fibonacci dalam karyanya Liber Abaci , dan semakin dikenal luas pada zaman Renaisance dengan tokoh-tokohnya, antara lain, Leonardo da Vinci dan Rene Descartes.

Pada mulanya, angka nol digambarkan sebagai ruang kosong tanpa bentuk yang di India disebut dengan sunya (kosong, hampa).Hingga kini, angka nol memiliki makna yang sangat khas dan memudahkan seseorang dalam berhitung. Namun, ada kalanya keberadaan angka nol ini dapat menimbulkan kekacauan logika.

''Jika suatu bilangan dibagi dengan nol, hasilnya tidak dapat didefinisikan. Bahkan, komputer sekalipun tidak bisa terhitung jika tiba-tiba bertemu dengan pembagi angka nol,''

 Angka 1, 2, 3, yang kita kenal selama ini ternyata mempunyai sejarah. Mengapa angka satu disimbolkan dengan "1" lalu angka dua disimbolkan dengan "2" dan seterusnya hingga 9.

Sebelum mengenal angka ini, orang sudah mengenal penulisan angka seperti I, II, III, IV, V, dst. Ini kita mengenalnya dengan angka Romawi. Karena dari sanalah angka ini lahir.

Lalu angka sebagaimana yang kita dapatkan dalam Al Qur'an.Kita mengenal itu dengan sebutan angka arab. Padahal itu salah. Itu adalah angka persia.

Sedangkan angka arab yang sebenarnya adalah sebagai mana yang kita sering tulis. Yaitu 1, 2, 3, 4, dst.

Kembali ke topik tadi. Kenapa angka satu ditulis dengan 1, lalu dua ditulis dengan 2 hingga angka 9? Ceritanya begini.

Lalu, sekarang, coba perhatikan bentuknya. Angka-angka dibawah ini membentuk banyak sudut. Coba hitung sudut-sudut yang ada dalam angka tersebut. Berapa sudut yang agan-agan dapatkan? Yuk kita hitung satu persatu.

sumber: noveralnice.blogspot.com

Read more

proses metabolisme karbohidrat

.PENGERTIAN METABOLISME

Metabolisme adalah suatu proses kimiawi yang terjadi di dalam tubuh semua makhluk hidup, proses ini merupakan pertukaran zat ataupun suatu organism dengan lingkungannya. Metabolisme berasal dari bahasa Yunani, yaitu “metabole” yang berarti perubahan, dapat kita katakana bahwa makhluk hidup mendapat, mengolah dan mengubah suatu zat melalui proses kimiawi untuk mempertahankan hidupnya.

Metabolisme Makanan

B.JENIS-JENIS METABOLISME

Metabolisme memiliki dua arah lintasan metabolic, yaitu :

• Katabolisme yang merupakan penguraian suatu zat menjadi partikel yang lebih kecil untuk dijadikan energy.
• Anabolisme yang merupakan reaksi untuk merangkai senyawa organic dari molekul molekul tertentu agar dapat diserap oleh tubuh.

C.PROSES METABOLISME

Didalam tubuh terjadi 3 proses metabolism utama yaitu :

1.Metabolisme Karbohidrat

Metabolisme Karbohidrat

Metabolisme merupakan proses yang berlangsung dalam organisme,baik secara mekanis maupun kimiawi.Metabolisme itu sendiri terdiri dari 2 proses yaitu anabolisme(pembentukan molekul) dan Katabolisme(Penguraian molekul).Pada proses pencernaan makanan,karbohidrat mengalami proses hidrolisis(penguraian dengan menggunakan molekul air).Proses pencernaan karbohidrat terjadi dengan menguraikan polisakarida menjadi monosakarida.

Ketika makanan dikunyah,makanan akan bercampur dengan air liur yang mengandung enzim ptialin (suatu α amilase yang disekresikan oleh kelenjar parotis di dalam mulut).Enzim ini menghidrolisis pati(salah satu polisakarida) menjadi maltosa dan gugus glukosa kecil yang terdiri dari tiga sampai sembilan molekul glukosa.makanan berada di mulut hanya dalam waktu yang singkat dan mungkin tidak lebih dari 3-5% dari pati yang telah dihidrolisis pada saat makanan ditelan.

Sekalipun makanan tidak berada cukup lama dlaam mulut untuk dipecah oleh ptialin menjadi maltosa,tetapi kerja ptialin dapat berlangsung terus menerus selama satu jam setalah makanan memasuki lambung,yaitu sampai isi lambung bercampur dengan zat yang disekresikan oleh lambung.Selanjutnya aktivitas ptialin dari air liur dihambat oelh zat asam yang disekresikan oleh lambung.Hal ini dikarenakan ptialin merupakan enzim amilase yang tidak aktif saat PH medium turun di bawah 4,0.

Setelah makan dikosongkan dari lambung dan masuk ke duodenum (usus dua belas jari),makanan kemudian bercampur dengan getah pankreas.Pati yang belum di pecah akan dicerna oleh amilase yang diperoleh dari sekresi pankreas.Sekresi pankreas ini mengandung α amilase yang fungsinya sama dengan α-amilase pada air liur,yaitu memcah pati menjadi maltosa dan polimer glukosa kecil lainnya.Namun,pati pada umumnya hampir sepenuhnya di ubah menjadi maltosa dan polimer glukosa kecil lainnya sebelum melewati lambung.

Hasil akhir dari proses pencernaan adalah glukosa,fruktosa,glaktosa,manosa dan monosakarida lainnya.Senyawa-senyawa tersebut kemudian diabsorpsi melalui dinding usus dan dibawa ke hati oleh darah.

• Glukosa sebagai salah satu hasil dari pemecahan pati akan mengalami dau proses di dalam hati,yaitu:
• Pertama,Glukosa akan beredar bersama aliran darah untuk memenuhi kebutuhan energi sel-sel tubuh
• Kedua,jika di dalam hati terdapat kelebihan glukosa (gula darah),glukosa akan di ubah menjadi glikogen(gula otot) dengan bantuan hormon insulin dan secara otomatis akan menjaga keseimbangan gula darah.Glikogen di simpan di dalam hati,jika sewaktu-waktu dibutuhkan,glikogen di ubah kembali menjadi glukosa dengan bantuan hormon adrenaline.

2. Metabolisme Protein

Metabolisme Protein

Protein dalam makanan hampir sebagian besar berasal dari daging dan sayur-sayuran.Protein dicerna di lambung oleh enzim pepsin,yang aktif pada pH 2-3 (suasana asam).

Pepsin mampu mencerna semua jenis protein yang berada dalam makanan.Salah satu hal terpenting dari penceranaan yang dilakukan pepsin adalah kemampuannya untuk mencerna kolagen.Kolagen merupakan bahan daasar utama jaringan ikat pada kulit dan tulang rawan.

Pepsin memulai proses pencernaan Protein.Proses pencernaan yang dilakukan pepsin meliputi 10-30% dari pencernaan protein total.Pemecahan protein ini merupakan proses hidrolisis yang terjadi pada rantai polipeptida.

Sebagian besar proses pencernaan protein terjadi di usus.Ketika protein meninggalkan lambung,biasanya protein dalam bentuk proteosa,pepton,dan polipeptida besar.Setelah memasuki usus,produk-produk yang telah di pecah sebagian besar akan bercampur dengan enzim pankreas di bawah pengaruh enzim proteolitik,seperti tripsin,kimotripsin,dan peptidase.Baik tripsin maupun kimotripsin memecah molekul protein menjadi polipeptida kecil.Peptidase kemudian akan melepaskan asam-asam amino.

Asam amino yang terdapat dalam darah berasal dari tiga sumber,yaitu penyerapan melalui dinding usus,hasil penguraian protein dalam sel,dan hasil sintesis asam amino dalam sel.asam amino yang disintesis dalam sel maupun yang dihasilkan dari proses penguraian protein dalam hati dibawa oleh darah untuk digunakan di dalam jaringan.dala hal ini hati berfungsi sebagai pengatur konsentrasi asam amino dalam darah.

Kelebihan protein tidak disimpan dalam tubuh,melainkan akan dirombak di dalam hati menjadi senyawa yang mengandung unsur N,seperti NH₃ (amonia) dan NH₄OH (amonium hidroksida),serta senyawa yyang tidak mengandung unsur N.Senyawa yang mengandung unsur N akan disintesis menjadi urea.Pembentukan urea berlangsung di dalam hati karena hanya sel-sel hati yang dapat menghasilkan enzim arginase.Urea yang dihasilkan tidak dibutuhkan oleh tubuh,sehingga diangkut bersama zat-zat lainnya menuju ginjal laul dikeluarkan melalui urin.sebaliknya,senyawa yang tidak mengandung unsur N akan disintesis kembali mejadi bahan baku karbohidrat dan lemak,sehingga dapat di oksidasi di dalam tubuh untuk menghasilkan energi.

3.Metabolisme Lemak

Metabolisme Lemak

Pencernaan lemak tidak terjadi di mulut dan lambung karena di tempat tersebut tidak terdapat enzim lipase yang dapat menghidrolisis atau memecah lemak.Pencernaan lemak terjadi di dalam usus,karena usus mengandung lipase.

Lemak keluar daari lambung masuk ke dalam usus sehingga merangsang hormon kolesistokinin.Hormon kolesistokinin menyebabkan kantung empedu berkontraksi sehingga mengeluarkan cairan empedu ke dalam duodenum(usus dua belaas jari).Empedu mengandung garam empedu yang memegang peranan penting dalam mengemulsikan lemak.Emulsi Lemak merupakan pemecahan lemak yang berukuran besar menjadai butiran lemak yang berukuran lebih kecil.ukuran lemak yang lebih kecil (trigliserida) yang teremulsi akan memudahkan hidrolisis lemak oleh lipase yang dihasilkan dari penkreas.Lipase pankreas akan menghidrolisis lemak teremulsi menjadi campuran asam lemak dan monoligserida (gliserida tunggal).Pengeluaran cairan penkreas dirancang oleh hormon sekretin yang berperan dalam meningkatkan jumlah elektrolit (senyawa penghantar listrik) dan cairan pankreas,serta pankreoenzim yang berperan untuk merangsang pengeluaran enzim-enzim dalam cairan pankreas.

Absorpsi hasil pencernaan lemak sebagian besar (70%) terjadi di usus halus.Pada waktu asam lemak dan monogliserida di absorpsi melalui sel-sel mukosa pada dinding usus,keduanya di ubah kembali menjadi lemak (trigliserida dengan bentuk partikel-partikel kecil(jaringan lemak.Saar dibutuhkam,timbunan lemak tersenit akan diangkut menuju hati.

sumber:softilmu.blogspot.com

Read more

MATERI TEOREMA PYTHAGORAS

Teorema phitagoras adalah pernyatan yang selalu bernilai benar tentang panjang segitga siku siku, sedangkan rumus phitagoras adalah berupa pernyataan aljabar  yang menyatakan hubungan ketiga sisi siku siku.

Rumus phitagoras bukan eorema phita goras, tetapi teorema phitagoras  memuat rumus phitagoras baik secara implisi maupun eksplisit.

1.      Kuadrat dan akar kuadrat suatu bilangan

Kuadrat suatu bilangan ialah bilangan yang diperoleh dengan mengalikan bilangan itu dengan dirinya sendiri.

Contoh:
9,5² = 9,5 x 9,5 = 90,25

      15² = 15 x 15 = 225

Akar kuadrat suatu bilangan n ialah suatu bilangan positif yang jika dikuadratkan (dikalikan dengan dirinya sendiri) akan menghasilkan bilangan ke-n.

Contoh:

1.            Akar kuadrat dari:

64 = 8 x 8 = 8 x 8 = 64, maka akar kuadrat 64 adalah 8

 0,25 = 0,5 x 0,5 = 0,5 x 0,5 = 0,25, maka akar kuadrat 0,25 adalah 0,5

2.   Luas daerah persegi dan luas daerah segitiga siku-siku

   Perhatikan gambar!              A                     D

             B                      C

Luas daerah persegi ABCD adalah:

L = s x s = s²

Luas daerah segitiga ABD adalah: L = ½ x s²

Perhatikan kalimat-kalimat berikut:

1.    Diketahui  sebuah  segitiga  PQR siku-siku di titik Q. Jika PQ = 8 cm

       dan    QR = 24 cm, tentukan luas daerah segitiga PQR!

3.            Hitunglah luas segitiga berikut dalam satuan cm²!

      P

  5  

Q                      12                                 R

3. Pembuktian Theorema Pythagoras

Pada setiap segitiga siku-siku, sisi-sisinya terdiri dari sisi siku-siku dan sisi miring (hipotenusa). Perhatikan gambar segitiga ABC!

                                                           C

               B                                        A

Segitiga ABC siku-siku di A, sisi yang membentuk sudut siku-siku disebut sisi siku-siku, yaitu AB dan AC. Sisi dihadapan sudut siku-siku disebut sisi miring atau hipotenusa yaitu BC. Selanjutnya untuk mendapatkan Teorema Pythagoras, perhatikan gambar! Berdasarkan gambar tersebut, hitunglah luas persegi-persegi pada setiap sisi segitiga, dan lengkapilah tabel berikut ini.

Untuk setiap segitiga siku-siku selalu berlaku:

Luas persegi pada hipotenusa sama dengan jumlah luas persegi pada sisi yang lain (sisi siku-siku).

Teorema ini disebut Teorema Pythagoras, karena teori ini pertama kali ditemukan oleh Pythagoras, yaitu seorang ahli matematika bangsa Yunani yang hidup pada abad VI Masehi.

4.  Rumus Teorema Pythagoras

Teorema Pythagoras yang pembuktiannya telah dilakukan di atas dapat digunakan untuk menghitung panjang suatu sisi segitiga siku-siku apabila salah satu sisinya belum diketahui.

Dari Teorema Pythagoras dapat diturunkan rumus-rumus berikut:

Jika segitiga ABC siku-siku di titik A, maka berlaku:

BC² = AC² + AB², atau

a² = b² + ²c, atau

b² = a² – ²c, atau

c² = a² – b²

Contoh:
1. Tunjukkan bahwa segitiga yang berukuran 4 cm, 3 cm, dan 5 cm adalah segitiga siku-siku.

Jawab: Misalnya sisi terpanjang adalah a, maka:

a = 5, b = 4, dan c = 3   a² = 5²    a² = 25   b² + c² = 4² + 3² = 16 + 9 = 25
Karena a² = b² + c², maka segitiga tersebut siku-siku.

2.    Suatu segitiga berukuran 4 cm, 6 cm, dan 5 cm. Apakah segitiga itu  siku-siku.

 Jawab: Misal sisi terpanjang adalah a, maka:

a = 6, b = 4, dan c = 5  a² = 6²   6² = 36  b² + c² = 4² + 5² = 16 + 25 = 41
Karena a² ≠ b²+c², maka segitiga tersebut bukan segitiga siku-siku.
Dari contoh di atas didapat bahwa: a² < b² + c², maka segitiga tersebut merupakan segitiga lancip.

Tigaan Pythagoras (Tripel Pythagoras)

Ukuran sisi segitiga siku-siku sering dinyatakan dalam tiga bilangan asli yang tepat. Tiga bilangan seperti itu disebut tigaan Pythagoras (Tripel Pythagoras).

Contoh:
Suatu segitiga siku-siku panjang sisinya 5, 12, dan 13 satuan. Bilangan 5, 12, dan 13 disebut tigaan Pythagoras, sebab 13² = 5² + 12².

Selanjutnya dapat disimpulkan:

Tripel (tigaan) Pythagoras adalah tiga bilangan asli yang tepat untuk menyatakan panjang sisi-sisi suatu segitiga siku-siku.

25 Macam Pembuktian Teorema Pythagoras

Siapa yang belum mendengar “Teorema Pythagoras”? sejak di sekolah dasar kita telah diperkenalkan dengan sifat yang terdapat pada segitiga siku-siku tersebut. Sebagai tambahan wawasan dan pengetahuan bagi para guru, berikut ini disajikan penjelasan singkat mengenai sejarah teorema Phytagoras serta 25 cara membuktikannya.

Teorema Pythagoras merupakan salah satu teorema yang telah dikenal manusia sejak peradaban kuno. Nama teorema ini diambil dari nama seorang matematikawan Yunani yang bernama Pythagoras. Pythagoras lahir di pulau Samos, Yunani, sekitar tahun 570 SM. Sesuai dengan nasehat gurunya Thales, Pythagoras muda mengunjungi Mesir sekitar tahun 547 SM dan tinggal di sana.

Bangsa Mesir kuno telah mengetahui bahwa segitiga dengan panjang sisi 3, 4 dan 5 akan membentuk sebuah sudut siku-siku. Mereka menggunakan tali yang diberi simpul pada beberapa tempat dan menggunakannya untuk membentuk sudut siku-siku pada bangunan-bangunan mereka termasuk piramid. Diyakini bahwa mereka hanya mengetahui tentang segitiga dengan sisi 3, 4 dan 5 yang membentuk segitiga siku-siku, sedangkan teorema yang berlaku secara umum untuk segitiga siku-siku belum mereka ketahui.

     Di Cina, Tschou-Gun yang hidup sekitar 1100 SM juga mengetahui teorema ini. Demikian juga di Babylonia, teorema ini telah dikenal pada masa lebih dari 1000 tahun sebelum Pythagoras. Sebuah keping tanah liat dari Babilonia pernah ditemukan dan memuat naskah yang kira-kira berbunyi sebagai berikut: “4 is length and 5 the diagonal. What is the breadth?”

Pythagoras-lah yang telah membuat generalisasi dan  membuat teorema ini menjadi populer. Secara singkat teorema Pythagoras berbunyi:

Pada sebuah segitiga siku-siku, kuadrat sisi miring (sisi di depan sudut sikusiku) sama dengan jumlah kuadrat sisi-sisi yang lain.

1.    Pembuktian dari Sekolah Pythagoras

Sifat pada segitiga siku-siku ini sebenarnya telah dikenal berabad-abad sebelum masa Pythagoras, seperti di Mesopotamia, juga Cina. Tetapi catatan tertulis pertama yang memberi bukti berasal dari Pythagoras. Bukti dari sekolah Pythagoras tersebut tersaji pada gambar di bawah.

Perhatikan bahwa:

Luas daerah hitam pada gambar (1) adalah a² + b²

Luas daerah hitam pada gambar (2) adalah c²

Dengan demikian a² + b² = c²

2.    Pembuktian lain menggunakan diagram Pythagoras

Bukti berikut ini lebih sederhana tetapi menggunakan sedikit manipulasi aljabar. Keempat segitiga siku-siku yang kongruen disusun membentuk gambar di bawah ini.

Dengan menghitung luas bangun bujur sangkar yang terjadi melalui dua cara akan diperoleh:

(a + b)                     =          c² + 4. ½ ab

a² + 2ab + b²          =          c² + 2 ab

a² + b²                     =          c²

3.    Bukti dari Astronom India Bhaskara (1114 - 1185)

Bukti berikut ini pertama kali terdapat pada karya Bhaskara (matematikawan India, sekitar abad X). Bangun ABCD di atas berupa bujursangkar dengan sisi c. Di dalamnya dibuat empat buah segitiga siku-siku dengan panjang sisi a dan b.

Dengan konstruksi bangun tersebut, maka:

Luas PQRS + 4  x luas ABQ    =      luas ABCD

(b – a)² + 4 x ½ . ab                 =      c²

b² – 2ab + a² + 2ab                   =      c²

a² + b²                                       =      c²

4.    Pembuktian Teorema Pythagoras oleh Presiden J. A. Garfield

Pembuktian ini berasal dari J. A. Garfield pada tahun 1876. Luas daerah trapesium di bawah ini dapat dihitung dengan dua cara sehingga teorema Pythagoras dapat dibuktikan sebagai berikut.

Luas trapesium       =          (alas + atas)/2. tinggi               =          (a + b)/2. (a + b)

Di lain pihak, luas trapesium          =          2. ½ ab + ½ c²

Sehingga, (a + b)/2. (a + b)            =          2. ½ ab + ½ c²

a² + 2ab + b²                                  =          2ab + c²

a² + b²                                             =          c²

5.    Bukti menggunakan Garis Tinggi dan Sifat Segitiga Sebangun (Pembuktian Baskhara yang Kedua)

Perhatikan gambar berikut:

Segitiga ABC sebangun dengan segitiga ACD sehingga b/c = c₁/c atau b² = c . c₁ ... (1)

Segitiga ABC sebangun dengan segitiga CBD sehingga a/c = c₂/a atau a² = c . c₂ ... (2)

Dari (1) dan (2) diperoleh:

a² + b² = c . c₁ + c . c₂

a² + b² = c (c₁ + c₂)

a² + b² = c . c

a² + b² = c²

6.    Bukti menggunakan Transformasi

Misal segitiga ABC siku-siku di C. Putarlah segitiga ABC sejauh 90⁰ berlawanan arah dengan putaran jarum jam dengan pusat rotasi C. Akan diperoleh segitiga A’B’C’ yang berimpit dengan segitiga ABC.

½ a²                        =          (1)

½ b²                                =          (2) + (3)

------------------------------------ +

½ a² + ½ b²             =          (1) + (2) + (3)

                               =          [(1) + (2)] + (3)

                               =          ½ cx + ½ cy

                               =          ½ c (x + y)

                               =          ½ c.c

                               =          ½ c²

Dengan mengalikan dua pada setiap ruas maka akan diperoleh a² + b² = c²

7.    Bukti dengan Dasar Perbandingan lagi

Diberikan segitiga ABC yang siku-siku di C. Kalikan setiap sisi dengan c. Lalu bentuk dua segitiga sebangun dengan ABC seperti pada gambar di atas. Dengan perbandingan sisi pada segitiga-segitiga sebangun akan diperoleh panjang sisi-sisi yang lain pada bangun di samping. Dari konstruksi tersebut jelas c² = a² + b².

Bukti sejenis ini terdapat pula dalambeberapa buku dan publikasi, seperti oleh Birkhoff.

8.    Bukti dengan “Bayangan”

Perhatikan bahwa kelima gambar di bawah ini memuat daerah gelap dengan luas yang sama (menggunakan konsep kesamaan luas bangun-bangun datar).

9.    Bukti dengan “Putaran”

Perhatikan proses dari diagram di atas.

Luas daerah gambar awal   =   a² + b² + 2. ½ . ab

Luas daerah gambar akhir  =    c² + 2. ½. Ab

Oleh karena transformasi di atas tidak mengubah ukuran, maka kedua daerah tersebut sama luasnya, sehingga dengan mengurangi masing-masing oleh ab atau mengambil kedua bangun segitiga siku-siku akan diperoleh:

a² + b² = c² (Sumardyono, 2003)

10.    Bukti dengan cara “Geser, Potong, lalu Putar”

Perhatikan bukti geometris berikut ini, dengan cara menggeser, memotong, dan memutar.

(Sumardyono, 2004)

11.    Bukti dari Euclid

Bukti berikut ini pertama kali diberikan oleh Euclid. Perhatikan gambar di bawah ini.

DBQE        =          NLBD ..... kedua bangun konruen

                   =          MLBC...... alas sama-sama BL dengan tinggi tetap BD

                   =          SRBC ...... alas sama-sama BC dengan tinggi tetap BR

                   =          a²

ADEP         =          KNDA..... kedua bangun konruen

                   =          KMCA ..... alas sama-sama AK dengan tinggi tetap AD

                   =          UTCA ...... alas sama-sama AC dengan tinggi tetap AU

                   =          b²

c²    = BDQE + ADEP

       =     a²     +    b²

12.    Bukti dari Leonardo da Vinci

Diberikan segitiga siku-siku ABC. Buatlah segitiga JHI kongruen dengan ABC. Maka segiempat ABHI, JHBC, ADGC, dan EDGF adalah kongruen.

Bukti teorema Pythagoras dilakukan sebagai berikut:

Luas ADGC + luas EDGF = luas ABHI + luas JHBC

                 Luas ADEFGC = luas ABCJHI

Kedua bangun memuat dua segitiga yang kongruen dengan segitiga ABC, sehingga:

Luas ADEFGC – 2. Luas ABC     =          luas ABCJHI – 2. Luas ABC

Luas ABED + luas BCGF             =          luas ACJI

13.    Bukti dengan cara “Tambah lalu Geser”

Susunlah empat segitiga siku-siku yang kongruen dengan segitiga ABC seperti pada gambar sebelah kiri, lalu tambahkan sebuh bujur sangkar dengan luas b – a.

Maka diperoleh:

Luas KMNPQR     =          luas KSQR + luas MNP

                               =          a² + b²

Kemudian pindahkan segitiga 1 dan 4 sehingga membentuk bangun di sebelah kanan. Bangun yang terbentuk adalah bujur sangakar dengan sisi c, sehingga luasnya c². (Sumardyono, 2003)

14.    Bukti dari Liu Hui (pada 3 Masehi)

Bukti berikut bersifat geometris. Tetapi Anda dengan mudah dapat membuktikannya secara aljabar.

15.    Bukti dari Tsabit ibn Qorra

Bukti berikut berasal dari Tsabit ibn Qorra (836-901) dan merupakan generalisasi Teorema Pythagoras. Diberikan sebarang segitiga ABC. Buatlah titik A’ dan B’ pada AB sedemikian sehingga < BA’C = < AB’C = < CAB’ (untuk gambar atas <CAB’ tumpul dan untuk gambar bawah < CAB’ lancip). Dengan demikian tampak bahwa segitiga ABC, segitiga CBA’ dan segitiga ACB’ saling sebangun.

Kesebangunan ini mengakibatkan:

AC/BA = A’B/CB (pandang segitiga CBA’ dan ABC )

AC/AB = AB’/AC (pandang segitiga ACB’ dan ABC)

Sehingga akan diperoleh BC² + AC² = AB(A’B + AB’)

Apabila sudut C siku-siku maka A’ = B’ dan Teorema Pythagoras terpenuhi.

                                          

16.    Bukti dari Pappus

Bukti berikut berasal dari Pappus (sekitar 300 M) dan merupakan suatu generalisasi. Buat sebarang segitiga ABC. Lalu buat sebarang jajargenjang CADE (di sisi CA) dan sebarang jajargenjang CBFG (di sisi BC). Kemudian panjang DE dan FG hingga bertemu, katakan di H. Kemudian lukis AL dan BM sejajar dan sama panjang dengan HC. Maka:

Luas CADE    =          luas CAUH     =          luas SLAR

Luas CBFG                 =          luas CBVH     =          luas SMBR

--------------------------------------------------------------------------- +

Luas CADE + luas CBFG                              =          luas ABML

Bila segitiga ABC adalah segitiga siku-siku (dengan sudut siku-siku di C) serta jajargenjang di sisi CA dan BC merupakan bujursangkar, maka akan diperoleh Teorema Pythagoras.

17.    Pembuktian dengan Segitiga Sama Sisi

Buat segitiga siku-siku dengan panjang sisi a, b, dan c.

Kemudian buat segitiga sama sisi dengan panjang a, b, dan c di setiap sisi-sisinyasehinggaakan tampak seperti gambar berikut.

Dari gambar di atas,diketahui bahwa luas segitiga sama sisi pada sisi miring sama dengan jumlah segitiga sama sisi lainnya.

Untuk segitiga dengan panjang sisi k, l, dan m maka luas segitiga tersebut adalah

18.    Pembuktian dengan Identitas Trigonometri Pythagoras

Buat segitiga siku-siku dengan panjang sisi a, b, dan, c seperti gambar berikut.

Kemudian dengan menggunakan trigonometri untuk menentukan sinus dan cosinus sudut Ө yaitu sebagai berikut.

Hubungan antara sinus dan cosinus dinamakan sebagai identitas trigonometri Pythagoras yang mendasar. Sehingga pada trigonometri kita ketahui bahwa

Hubungan antara sinus dan cosinus dinamakan sebagai identitas trigonometri Pythagoras yang mendasar. Sehingga pada trigonometri kita ketahui bahwa.

19.    Pembuktian denan Persamaan Differensial

Pertama gambar segitiga siku-siku ABC seperti gambar berikut

b diperpanjang ke titik D yaitu sisi db, c juga diperpanjang dengan sisi dc. Terdapat dua sisi segitiga yang sebangun yaitu segitiga AED (EA tegak lurus terhadap sisi miring) dan segitiga ABC seperti gambar berikut.

oleh karena itu rasio atau perbandingan sisi-sisi pada segitiga tersebut harus sama, yaitu:

Dapat ditulis sebagai berikut

Perhatikan gambar, apabila b = 0, maka a harus berhimpit terhadap c. Artiya a = c. Maka konstanta = c² = a² sehingga c² = b² + a² terbukti.

20.    Pembuktian Thabit Ibn Qurra

Buat persegi panjang dengan panjang a dan b, kemudian disusun berdampingan seperti gambar berikut.

Luas bangun di atas adalah persegi besar dan persegi kecil yaitu a² + b².

Persegi di atas kita gabungkan, kemudian buat garis sedemikian rupa sehingga akan tampak seperti gambar di bawah, dimana sisi c menjadi sisi miring.

Selanjutnya segitiga kita potong dan tempatkan di bagian lain yaitu samping kanan dan bagian atas sehingga akan tampak seperti gambar berikut.

Bangun yang terbentuk adalah sbuah bujur sangkar dengan luas c².

21.    Pembuktian John Kawamura

Pembuktian ini ditemukan oleh siswa SMA yang dilaporkan oleh Chris Davis, guru geometrinya di Head-Rouce School, Oakland, CA.

Kedua diagonal tegak lurus memiliki panjang c, sehingga daerah yang sama dengan c²/2 sehingga

c²/2 = Luas bangun ABCD

                    = Luas BCD + Luas ABD

        = a.a/2 + b.b/2

 c² = a² + b² terbukti

22.    Pembuktian Tao Tong

ABC dan BED dua buah segitiga yang kongruen. E pada AB.

Luas ABD = BD.AF/2 = DE.AB/2

Berdasarkan gambar di atas diperoleh

(c-x)/2 = b.b/2.x = CF  (diperoleh dari kesamaan BD dan AC pada segitiga BFC dan ABC).

x = a²/2

23.    Pembuktian dengan beberapa segitiga yang sebangun.

Berdasarkan gambar di atas diperoleh

y/b = b’/c, x/a = a’/c + cx = aa’ + bb’

maka cc’ = aa’ + bb’

24.    Pembuktian dengan dua trapesium yang kongruen

Pembuktianini ditemukan oleh seorang siswa SMA, Jamie deLemos.

Kuas dari trapesium tersebut adalah

(2a+2b)/2.(a+b)

Di lain pihak

2.a.b/2 + 2b.a/2 + 2.c²/2

Dari dua persamaan tersebut diperoleh:

a² + b² = c²

25.    Pembuktian dari weininjieda dari Cina

Misal CE = BC = a, CD =AC =b, F titik potong DE dan AB.

Segitiga CED kongruen dengan segitiga ABC, misal DE = AB = c.

AC tegak lurus dengan BD

BE tegak lurus dengan AD, dan 

ED tegak lurus dengan AB. Maka diperoleh

Luas segitiga ABD = Luas segitiga ABE + Luas segitiga ACD + luas segitiga BCE

Akan diperoleh persmaan

c(c+EF) = EF. C + b² + a²

yang bentuk sederhananya

c² = b² + a²

Read more